02-Teorema de Bayes

Vinculación

Este teorema es la culminación de la 01-Probabilidad condicional. Nos permite resolver problemas complejos dividiéndolos en partes más pequeñas y manejables.

El requisito previo: Participación de un espacio muestral

Para poder aplicar la Ley de la Probabilidad Total (o el Teorema de Bayes más adelante), primero debemos entender cómo dividir nuestro espacio muestral $Ω$ de forma correcta.

Se dice que un conjunto de eventos ${B_{1}, B_{2}, . . ., B_{n}}$ constituye una partición del espacio muestral si cumplen dos reglas estrictas:

Son mutuamente excluyentes: No pueden ocurrir al mismo tiempo.
Son exhaustivos: Entre todos cubren la totalidad de los resultados posibles del experimento (su unión es igual a $Ω$ ).

Teorema de Bayes

Mientras que la probabilidad total averigua la posibilidad de un "efecto" final (ej. pieza defectuosa), el Teorema de Bayes hace el camino inverso: si ya sabemos que el "efecto" ocurrió, calcula la probabilidad de que haya sido provocado por una "causa" o escenario específico.

En estadística bayesiana, la probabilidad el escenario $B_{j}$ antes de hacer el experimento se llama probabilidad previa, y la probabilidad recalculada tras conocer la nueva evidencia $A$ se llama probabilidad posterior.

Teorema de Bayes

Sea ${B_{1}, B_{2}, . . ., B_{n}}$ una partición de $Ω$ . Si $A$ es un evento cualquiera que ya ocurrió, la probabilidad de que provenga de la partición $B_{j}$ es:

P (B_{j} / A) = \frac{P (B_{j}) \cdot P (A / B_{j})}{\sum_{i = 1}^{n} P (B_{i}) \cdot P (A / B_{i})} = \frac{P (B_{j}) \cdot P (A / B_{j})}{P (A)}

Nota

El denominador es, ni más ni menos, que la fórmula de la Probabilidad Total.

Ejemplo: Una planta de ensamble recibe productos provenientes de tres fabricantes A, B y C. El 50% del total se compra a A, mientras que a B y C se le compran el resto en partes iguales. El porcentaje de productos defectuosos para A, B y C, es de 5, 10 y 12% respectivamente. Determine la probabilidad de que una unidad ensamblada tenga un componente malo. Si se toma al azar un componente y se encuentra que es defectuoso:

¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B?

Numerador (Intersección $B \cap D$ ): $P (B) \cdot P (D / B) = 0.25 \cdot 0.10 = 0.025$
Denominador (Probabilidad total D): $0.08$ .

P (B / D) = \frac{0.025}{0.08} = 0.3125

¿Y que no haya sido comprado por A?

P (A^{c} / D) = 1 - P (A / D)

P (A / D) = \frac{P (A) \cdot P (D / A)}{P (D)} = \frac{0.50 \cdot 0.05}{0.08} = \frac{0.025}{0.08} = 0.3125

P (A^{c} / D) = 1 - 0.3125 = 0.6875

Estrategia (Causa vs. Efecto)

Al leer un ejercicio, la clave para saber qué teorema usar es identificar qué información nos dan como "hecho" o "condición":

Si nos piden la probabilidad del evento final (ej. "¿Cuál es la probabilidad de que una pieza seleccionada esté rota?) $\to$ Probabilidad Total
Si nos dicen que el evento final ya se comprobó y nos preguntan de dónde provino (ej. "Se extrae una pieza, se constata que está rota... ¿Qué probabilidad hay de que sea de la máquina 2?") $\to$ Teorema de Bayes.