05-Ecuación de Bernoulli

Según la 04-Ecuación de continuidad, la rapidez de flujo de un fluido puede variar a lo largo de las trayectorias del fluido. Podemos deducir una relación importante, llamada ecuación de Bernoulli, que relaciona la presión, la rapidez de flujo y la altura para el flujo de un fluido ideal.
Pasted image 20250715172212.png
Para deducir la ecuación de Bernoulli, debemos aplicar el 02-Teorema trabajo-energía al fluido de una sección de un tubo de flujo, como el de la figura de arriba. Se aplica este teorema porque Bernoulli describe cómo se transforma la energía dentro de un fluido en movimiento, cuando no hay pérdidas por fricción ni fuerzas externas adicionales.

Por ende, procederemos a armar la expresión $(1)$ :

P = \frac{\vec{F}}{A}

{\vec{F}}_{1} = P_{1} \cdot A_{1} \land {\vec{F}}_{2} = P_{2} \cdot A_{2}

d W = F_{1} \cdot d s_{1} - F_{2} \cdot d s_{2}

d W = P_{1} \cdot A_{1} \cdot d s_{1} - P_{2} \cdot A_{2} \cdot d s_{2}

d W = P_{1} \cdot d V - P_{2} \cdot d V

d W = (P_{1} - P_{2}) d V (1)

Habiendo obtenido la primer expresión, que es el diferencial del trabajo mecánico, procedemos a armar la la expresión ( $2$ ):

d V = A_{1} \cdot d s_{1} \land d V = A_{2} \cdot d s_{2}

\frac{d m_{1}}{ρ} = A_{1} \cdot d s_{1} \land \frac{d m_{1}}{ρ} = A_{2} \cdot d s_{2}

d m_{1} = ρ \cdot A_{1} \cdot d s_{1} \land d V = ρ \cdot A_{2} \cdot d s_{2}

K_{1} = \frac{1}{2} \cdot m_{1} \cdot v_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot A_{1} \cdot d s_{1} \cdot v_{1}^{2}

K_{2} = \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot v_{2}^{2} = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot A_{2} \cdot d s_{2} \cdot v_{2}^{2}

d K = K_{2} - K_{1}

d K = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot A_{2} \cdot d s_{2} \cdot v_{2}^{2} - \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot A_{1} \cdot d s_{1} \cdot v_{1}^{2}

d K = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot d V \cdot v_{2}^{2} - \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot d V \cdot v_{2}^{2}

d K = (\frac{1}{2} \cdot ρ \cdot v_{2}^{2} - \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot v_{1}^{2}) d V

d K = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot d V \cdot (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) (2)

Conseguimos la segunda expresión, que corresponde al diferencial de energía cinética. Procedemos a armar la última ecuación:

U_{g_{1}} = ρ \cdot d V \cdot g \cdot y_{1} \land U_{g_{2}} = ρ \cdot d V \cdot g \cdot y_{2}

d U_{g} = ρ \cdot d V \cdot (y_{2} - y_{1}) (3)

La tercer expresión corresponde al diferencial de energía potencial gravitatoria. Por lo tanto podemos llegar a la siguiente conclusión: Como trabajo es igual a la variación de energía mecánica, o sea:

Trabajo y energía \to W_{o t r a s} = Δ E

Podemos escribir, con las expresiones $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ , lo siguiente:

d W = d K + d U_{g}

(P_{1} - P_{2}) \cdot d V = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot d V \cdot (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + ρ \cdot d V \cdot g \cdot (y_{2} - y_{1})

P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + ρ \cdot g \cdot (y_{2} - y_{1})

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g y_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g y_{2}

De esta forma conseguimos la ecuación de Bernoulli.

Cuidado

La ecuación de Bernoulli se deduce considerando un fluido ideal y un flujo estable.

Informacion

La ecuación de Bernoulli no es otra cosa que una conservación de la energía aplicada al flujo de un fluido ideal.
Decimos que la ecuación de Bernoulli aplica el principio de conservación de la energía, porque establece que la energía total se conserva mientras el fluido se mueve por una tubería o canal sin perder energía por fricción, calor u otras formas de disipación.