01-Ley de la probabilidad total

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Vinculación

Este teorema es la culminación de la 01-Probabilidad condicional. Nos permite resolver problemas complejos dividiéndolos en partes más pequeñas y manejables.

El requisito previo: Participación de un espacio muestral

Para poder aplicar la Ley de la Probabilidad Total (o el Teorema de Bayes más adelante), primero debemos entender cómo dividir nuestro espacio muestral $Ω$ de forma correcta.

Se dice que un conjunto de eventos ${B_{1}, B_{2}, . . ., B_{n}}$ constituye una partición del espacio muestral si cumplen dos reglas estrictas:

Son mutuamente excluyentes: No pueden ocurrir al mismo tiempo.
Son exhaustivos: Entre todos cubren la totalidad de los resultados posibles del experimento (su unión es igual a $Ω$ ).

Teorema de la Probabilidad Total

Teorema: Probabilidad Total (Regla de eliminación)

Sea ${B_{1}, B_{2}, . . ., B_{n}}$ una partición de $Ω$ . Si $A$ es un evento cualquiera, su probabilidad total se calcula ponderando (multiplicando) la probabilidad de que ocurra cada escenario $B_{i}$ por la probabilidad de que $A$ ocurra en ese escenario, y luego sumando todo:

P (A) = \sum_{i = 1}^{n} P (B_{i}) \cdot P (A / B_{i})

Ejemplo: Una planta de ensamble recibe productos provenientes de tres fabricantes A, B y C. El 50% del total se compra a A, mientras que a B y C se le compran el resto en partes iguales. El porcentaje de productos defectuosos para A, B y C, es de 5, 10 y 12% respectivamente. Determine la probabilidad de que una unidad ensamblada tenga un componente malo.

$P (A) = 0.5$
$P (B) = 0.25$
$P (C) = 0.25$
$P (D / A) = 0.05$
$P (D / B) = 0.1$
$P (D / C) = 0.12$

Aplicando el teorema:

P (D) = P (A) \cdot P (D / A) + P (B) \cdot P (D / B) + P (C) \cdot P (D / C)

P (D) = (0.5 \cdot 0.05) + (0.25 \cdot 0.1) + (0.25 \cdot 0.12)

P (D) = 0.025 + 0.025 + 0.030 = 0.08 \to (8 %)

Demostración

Supongamos una partición ${B_{1}, B_{2}, B_{3}, . . ., B_{n}}$ del espacio muestral $Ω$ y un evento $A \subset Ω$ , tal como en la figura:
Pasted image 20260507134754.png

El evento $A$ estará definido por:

A = A \cap B_{1} + A \cap B_{2} + A \cap B_{3} + . . . + A \cap B_{n}

Si le aplicamos la función probabilidad a ambos miembros:

P (A) = P (A \cap B_{1}) + P (A \cap B_{2}) + P (A \cap B_{3}) + . . . + P (A \cap B_{n})

Ahora, si recordamos la definición de probabilidad condicional, tenemos que:

P (X / Y) = \frac{P (X \cap Y)}{P (Y)} \to P (X \cap Y) = P (Y) \cdot P (X / Y)

Por ende, si reemplazamos esta última expresión en cada probabilidad de la intersección, conseguimos demostrar:

P (A) = P (B_{1}) \cdot P (A / B_{1}) + P (B_{2}) \cdot P (A / B_{2}) + . . . + P (B_{n}) \cdot P (A / B_{n})

Demostrado