03-Sucesos

Tags: #probabilidad #sucesos #eventos #mutuamente_excluyentes #complementarios

Vinculación matemática

Todo lo que aplica a los sucesos se rige por las leyes descritas en 02-Revisión de teoría de conjuntos

1. Sucesos o eventos

En el contexto de un experimento aleatorio, no siempre estamos interesados en un único resultado específico, sino en sí el resultado cumple con cierta condición o característica.

Definición: Suceso

Un evento o suceso es cualquier recopilación o subconjunto de resultados contenidos en el espacio muestral. Es decir, el conjunto $A$ es un evento de $Ω$ si $A \subset Ω$ .

Dependiendo de la cantidad de resultados que abarquen, se clasifican en:

Suceso simple: Aquel evento que consiste en exactamente un solo resultado posible del espacio muestral.
Suceso compuesto: Aquel que consiste en más de un resultado posible.

Ejemplo: Supongamos que probamos tres componentes electrónicos y los clasificamos como Defectuosos (D) o No defectuosos (N). El espacio muestral es: $Ω =$ { $D D D, D D N, D N D, D N N, N D D, N D N, N N D, N N N$ }

El evento $E_{1} =$ "Los tres componentes fallan" es el subconjunto { $D D D$ }. Al tener un solo resultado, es un suceso simple.
El evento $A =$ "Exactamente un componente es defectuoso" es el subconjunto { $D N N, N D N, N N D$ }. Al contener tres resultados distintos, es un suceso compuesto.

2. Sucesos mutuamente excluyentes

Definicion: Sucesos mutuamente excluyentes

Dos eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen elementos en común, es decir, si su intersección es el conjunto vacío: $(A \cap B = \emptyset)$ .

En la práctica, decir que dos sucesos son mutuamente excluyentes significa que no pueden ocurrir de forma simultánea en un mismo ensayo del experimento.

Ejemplo: Si observamos un vehículo llegar a una intersección, el evento $A$ (el vehículo gira a la izquierda) y el evento $B$ (el vehículo sigue derecho) son mutuamente excluyentes. El vehículo no puede hacer ambas cosas al mismo tiempo.

Probabilidad del ejemplo

Si nos solicitan la probabilidad de que en el ejemplo anterior ocurran $A$ y $B$ simultáneamente, y sabemos que son sucesos mutuamente excluyentes, esa probabilidad siempre será cero.

3. Sucesos complementarios

Definición: Sucesos complementarios

El complemento de un evento $A$ respecto de $Ω$ es el subconjunto de todos los elementos (o resultados) de $Ω$ que no están contenidos en $A$ . Generalmente se denota con el símbolo $A^{'}$ o $A^{c}$ .

Todo evento $A$ y su complemento $A^{'}$ siempre son mutuamente excluyentes (no podemos tener un componente defectuoso y no defectuoso a la vez) y además, son exhaustivos (entre los dos cubren absolutamente todo el espacio muestral $Ω$ ).

Ejemplo en ingeniería: Dado el espacio muestral $Ω =$ { $t | t \geq 0$ }, donde $t$ es la vida útil en años de cierto componente electrónico. Si definimos el evento $A$ de que el componente falle antes de que finalice el quinto año, es decir $A =$ { $t | 0 \leq t < 5$ }, entonces el suceso complementario $A^{'}$ es el evento de que el componente dure 5 años o más, es decir $A^{'} = (t | t \geq 5)$ .