01-Potencial de un conductor esférico cargado

1. Comportamiento en puntos exteriores e interiores

Supongamos un conductor esférico de radio $a$ que posee una carga $q$ .

En los puntos exteriores ( $r \geq a$ ): El campo eléctrico fuera del conductor es idéntico al de una carga puntual. Por lo tanto, la fórmula del potencial a una distancia $r$ es la misma que la de una carga puntual:

V = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{r}

En los puntos interiores ( $r < a$ ): Sabemos que en el interior de un conductor en equilibrio electrostático, la intensidad del campo eléctrico es estrictamente nula ( $E = 0$ ). Si derivamos de la relación del gradiente de potencial ( $E = - d V / d r$ ), que la derivada sea cero significa que la función original es una constante. Por lo tanto, el potencial es el mismo en todos los puntos interiores e igual al potencial exacto en la superficie de la esfera:

V = \frac{1}{4 ϕ ϵ_{0}} \frac{q}{a} = c t e

2. Representación gráfica

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De la gráfica se reduce que en un punto exterior infinitamente próximo a la superficie, el campo eléctrico $E$ es máximo y el potencial comienza su curva de descenso. A medida que nos alejamos, el voltaje disminuye proporcionalmente a $1 / r$ , mientras que el "empujón" del campo decae mucho más rápido, proporcional a $1 / r^{2}$ .

3. Rigidez dieléctrica y las puntas

El aire tiene un límite de "aguante" antes de ionizarse y volverse conductor (rigidez dieléctrica, alrededor de $3 * 10^{6} V / m$ ). Como el campo máximo en la superficie es $E_{m}$ , el potencial máximo ( $V_{m}$ ) que puede alcanzar la esfera sin descargar chispas al aire es:

V_{m} = E_{m} \cdot a

Esto significa que el potencial máximo es directamente proporcional al radio de la esfera.

Ejemplo real

Una pequeña esfera de $1 c m$ de radio ( $0.01 m$ ) sólo puede cargarse hasta un potencial de $30.000 V$ antes de emitir chispas al aire.