03-Cálculo de campo en distribuciones

Resumen

En el mundo real, las cargas rara vez son "puntuales". Generalmente están distribuidas a lo largo de cables, superficies o volúmenes. Para calcular su campo eléctrico, debemos dividir el cuerpo en infinitas cargas puntuales ( $d q$ ), calcular el campo infinitesimal ( $d E$ ) de cada una usando la Ley de Coulomb, y sumar todo mediante integrales.

1. Método de integración

Cuando no podemos usar la elegancia geométrica del Teorema de Gauss, recurrimos a la integración. El campo resultante en un punto $P$ se obtiene sumando vectorialmente los campos creados por cada segmento $d x$ (que contiene una carga $d q$ ) del objeto.

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d q}{r^{2}}

Pasted image 20260502134014.png

Cuidado con los vectores

Como el campo es un vector, no se puede integrar los módulos directamente. Primero hay que descomponer $d E$ en sus componentes rectangulares ( $d E_{x} = d E \cdot \cos (θ)$ y $d E_{y} = d E \cdot \sin (θ)$ ) e integrar cada eje por separado.

2. Dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas iguales pero de signos opuestos ( $+ q$ y $- q$ ) separadas por una distancia $L$ . Es una configuración importantísima (muchas moléculas en dieléctricos se comportan así).
Pasted image 20260502134122.png

Momento eléctrico del dipolo ( $p$ ): Se define como $p = q \cdot L$ .
Campo sobre su eje (Punto $P$ a una distancia $r$ ): $$E_p=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2p}{r^3}$$
(Para distanciar $r$ muy grandes frente a $L$ ).
Campo sobre su plano ecuatorial (Punto $Q$ ):
$E_{Q} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{p}{r^{3}}$

Detalle fino

Notemos que el campo de un dipolo decae rapidísimo, con el cubo de la distancia ( $1 / r^{3}$ ), mientras que el de una carga sola decae con el cuadrado ( $1 / r^{2}$ ).

3. Anillo cargado (sobre su eje)

Imaginemos un anillo de radio $a$ con una carga total $q$ distribuida uniformemente. Queremos saber el campo en un punto $P$ sobre su eje central, a una distancia $b$ de su centro. Por simetría, todas las componentes perpendiculares al eje se anulan entre sí (se compensan la de arriba con la de abajo, etc.) y solo sobreviven las componentes paralelas al eje.

Pasted image 20260502134650.png

La integración da como resultado:

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q \cdot b}{(a^{2} + b^{2})^{3 / 2}}

Si evaluamos exactamente en el centro del anillo $(b = 0)$ , el campo es nulo $(E = 0)$ , lo cual tiene sentido geométrico.

4. Distribuciones de alta simetría

1. Hilo infinito / Cilindro:

E = \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{λ}{r}

Donde $λ$ es la densidad lineal de carga.

2. Láminas paralelas con cargas opuestas:
El campo exterior es despreciable y el campo interior es uniforme.

E = \frac{σ}{ϵ_{0}}

Donde $σ$ es la densidad superficial de carga.

Conexión

Esta es la base matemática para armar un Capacitor.

3. Esfera:
Se comporta en el exterior como si toda su carga estuviera concentrada en un punto en su centro. En su interior, el campo es nulo.

Ejemplos con analogías

Integración vs. Gauss: Calcular el campo dividiéndolo en infinitos pedacitos $d q$ (integración) es como analiza la telemetría de Colapinto micro-sector por micro-sector sumando las frenadas de cada metro de pista. Usar el Teorema de Gauss es como mirar directamente el tiempo de vuelta final del cronómetro: si la pista es perfectamente simétrica (como un óvalo), te dice exactamente el rendimiento del auto sin tener que calcular punto por punto.
El Dipolo y el $1 / r^{3}$ : Imaginemos dos monoplazas luchando rueda a rueda (un dipolo). Uno genera turbulencia que empuja el aire hacia afuera ( $+ q$ ) y el otro deja succión o "rebufo" que atrae el aire hacia adentro ( $- q$ ). Vistos desde muy lejos, los efectos aerodinámicos de ambos chocan y se cancelan casi por completo mutuamente, por eso la perturbación (el campo del dipolo) "muere" rapidísimo en la distancia ( $1 / r^{3}$ ), mucho más rápido que si hubiera un solo auto en pista.

Página anterior

⬅️ 02-Líneas de fuerza

Siguiente página

04-Campo dentro de un conductor ➡️